我们听过的很多迷人的神话，可能都是从一个真实的故事开始的。它其实发生在历史的某一个点上，只是在代代相传的故事中一点一点被涂上传奇色彩，真相一点一点被抛在脑后。神话总是在人们的头脑中存在和演变，也许是因为它们不知何故承载了一些隐藏的真相，能够满足人类的一些精神需求。
以逻辑严谨著称的数学，似乎是神话的对立面，但有时候，一些数学真理会在不被理解的情况下，以“神话”的形式进入大众意识。今天我们要讲的是数学中的一个“神话”——黄金比例(golden ratio)。
什么是黄金比例？
黄金比例是一个神奇的常数，我们通常用希腊字母φ来表示。出现在很多文艺作品中。比如小说和电影《达芬奇密码》中提到的这个神秘人物。之所以说它神秘，是因为与数学中的许多其他概念相比，这个数确实有更多的“神话”:它被许多作家描述为自然界一切美丽图案的基础，是一个神圣的比例；它也被认为是许多艺术作品和建筑的设计基础，如希腊的帕台农神庙和埃及的金字塔。
黄金分割率最早出现在欧几里得的《几何原本》一书中，欧几里得将其定义为:
那么，φ是多少呢？我们知道a/b=φ，并且(a+b)/a=φ，所以上图中的方程可以变成:
通过解这个方程，你可以得到:
既然φ一定大于1，我们就取φ=1.61803……它是一个无理数，不难理解，因为根号5只是一个无理数，也就是说，它是一个不能写成两个整数之比的数。这是黄金比例的一个非常重要的性质。
一维黄金分割比例也可以推广到所谓的黄金矩形。我们可以按照以下步骤画一个黄金矩形:
1.首先你需要画一个边长为A的正方形；2.然后取正方形一边(如底边)的中点:以中点为圆心，以中点到与对边相连的一个顶点的距离为半径，画一个圆；3.延伸底边使其与圆弧相交，得到的交点就是黄金矩形的一个角。
除了黄金矩形，黄金比例φ还有另一个可爱的几何表达式，那就是边长为1的正五边形的对角线长度。(读者可以尝试用余弦定理来检验一下！)
如上图所示，对角线与底边形成的边长为1，φ，φ的等腰三角形BAD称为金三角，在五重对称的学习中经常出现。例如，五角星由五个黄金三角形组成:
实际上，有许多方法可以定义黄金分割率，一个非常著名的例子是斐波那契数列:
这个数列的下一项是前两项之和，这是斐波那契提出的一种理解兔子种群增长的方法。它在理解人口增长方面起着重要的作用。
这个系列和黄金比例有什么关系？第一个发现这个惊人秘密的人是约翰尼斯·开普勒。他注意到，如果取这个数列中两个相连数的比值(后者大于前一个)，得到的比值可以形成一个数列:
而这个数列最终会收敛到一个熟悉的数字——1.618……这个数列的极限就是黄金比例。
黄金比例的不合理，让我们看到了可以在黄金矩形内无限循环的斐波那契数列的比例。
被“神化”的黄金比例
黄金比例是一个有趣的数字，它有许多奇特的性质和许多有用的应用。这些奇特的性质引起了一些数学家的注意，但对于大众来说，这些性质却被意外地提升到了一个不恰当的位置。
在数学家眼中，有很多重要的常数，比如√2——它是边长为1的正方形的对角线长度，也是一张A4纸的长宽比。实际上，几何中1、√2和√3的频率远高于φ。
说到重要常数，还有两个数字不得不提:π和E，无论是在数学界还是现实世界都是不言而喻的。
在几何学中，圆周率是周长与直径的比值，它的应用远远超出了几何学。它出现在数学的所有领域，从微积分到数论，从统计学到量子力学。e是数学中另一个同样重要的常数。它是微积分的基本元素，与任何关于成长的事情都有关系。在许多重要的理工科公式中，都有π和E，它们与宇宙有着密切的关系。
相比之下，φ的应用场景就少了很多。但在数学普及的时候，φ的神秘色彩让它的“荣耀”远不止这两个宇宙的核心人物。需要强调的是，这并不是说φ不重要(我们将在第3部分讨论黄金分割率的真正魔力)，而是说它在数学和科学中的作用与传说中的大相径庭。
为什么φ在大众媒体上获得如此突出的地位？或许和所有神话的传播一样，神化的理由早已湮没在历史的长河中。但我们还是可以顺着一些线索去探究其中的一些故事。
隐藏在大自然中的黄金比例？
黄金比例在自然界中以多种形式出现。如前所述，黄金分割率与斐波那契数列密切相关。斐波那契数列在本质上是真实的，因为它与人口的增长模式和形状的组合方式都有关。
例如，在向日葵的螺旋中，我们可以看到这个序列(左下)。它们有序地排列在一起，可以捕捉到最多的阳光；比如从蜂巢中雌雄数量的分布(右下图)，也可以观察到蜜蜂的繁殖方式造成的接近φ的比例。
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然而，在许多情况下，黄金比例被不恰当地联系在一起。比如很多人说，美好的人体比例，完美的脸型，都和φ有关。其实人体可能的比例有很多种，大部分都在1到2之间，这些“完美”的度量并没有明确的定义。你想想，人体的完美比例可能接近1.6，5/3，3/2，√2，21/13等等。但这些只是一些人脑感觉的虚假关联。当我们用数据中发现的虚假关联来论证一个观点时，实际上可能是非常危险的。例如，在法律审判中，错误的关联可能导致错误的指控，甚至错误的定罪。
黄金是螺旋吗？
上图中显示的黄金螺旋可能是与黄金比例最接近的例子，它类似于一个螺旋。你只要在越来越小的黄金矩形里无限取圆弧就可以得到这样的图案。
在很多地方，这种形状被应用到自然和艺术中，比如鹦鹉螺、星系、飓风甚至海浪的形状:
但是，问题是黄金螺旋不是螺旋！它是由一系列圆弧组成的图案。从一个弧到另一个弧，螺线的曲率会发生跳跃，这在任何自然现象中都不太可能发生。在最好的情况下，黄金螺旋可以近似为真正的螺旋。它近似的是对数螺线的一个例子，在自然界中很常见，可以用极坐标方程表示如下:
在自然界中，这样的螺旋随处可见，B的值对应不同的实际情况，这对于B的任何值都成立，不考虑黄金分割比。黄金螺旋对应的b值为:
这个数字没什么特别的。鹦鹉螺的壳是对数螺线，因为这种自相似的性质使它在不改变形状的情况下生长。其最常见的B值为0.18，与黄金螺旋的B值相差甚远。
艺术与建筑的比例
人们认为黄金比例更具美感，因此在许多艺术和建筑作品中，黄金矩形比其他矩形更受欢迎。诚然，一些艺术家和建筑师确实将黄金比例融入到他们的作品中，但这也是黄金比例概念被过度使用的一个领域。
理性地说，令人愉悦的黄金矩形是一个证据薄弱的说法。心理学研究表明，人们对矩形的偏好范围很广，所有比例都有其受众，最受欢迎的是长宽比为√2比1的矩形。斯坦福大学的数学家和科普作家基思·德夫林(Keith Devlin)曾在美国数学协会的专栏中写道，黄金比例和美学的关系是如此深入两个人的内心。一个是意大利数学家卢卡·帕乔利，另一个是德国心理学家阿道夫·蔡辛。
达芬奇的朋友卢卡·帕乔利在1509年写了一本名为《神奇的比例》的书。虽然这本书的书名是黄金比例，但它并不提倡任何以黄金比例为基础的美学理论。此外，人们经常说达芬奇在他的画作中使用了黄金比例。最著名的例子是绘画《维特鲁威人》。然而，这些比率并不符合黄金比例。没有直接证据表明达芬奇使用了这个比例。他在作品中只提到了整数比。
泽信曾将黄金分割率描述为“自然和艺术的美丽和完整性……它是一种至高无上的精神理想，渗透到所有的结构、形式和比例中，无论是宇宙还是个人、有机还是无机、声学还是光学。”然而，这一说法随后影响了许多其他人，并为“黄金比例”的现代神话奠定了基础。
还有一种观点认为黄金比例在音乐创作中也很重要。然而，就像艺术和建筑一样，几乎没有任何证据可以证明这一观点。与音乐密切相关的数字是2的12次方根，而不是黄金比例。
这个夸张的“神话”其实很让人不安。会误导很多人，让他们对数学的运算产生错误的理解。当那些相信这些神话的人发现事实并非如此时，他们可能会对数学解释世界的真正能力失去信心。
黄金比例的真正魔力
如果以上都是为了给黄金比例戴上一顶“神奇”的帽子，那我们就来说说黄金比例真正的神奇之处。
毫无疑问，黄金分割率是数学和科学中一个奇妙的数字，而真正让它区别于其他数字的一个重要属性就是它的不合理性。我们前面说过，φ是一个无理数，也就是说，它不能表示为任何一个分数，但更令人惊讶的是，它是最无理数的无理数。这意味着不仅不能精确地表示为分数，甚至很难用分数来近似。这是一个非常特殊的属性。
为什么φ是最无理数？数学家在近似一个无理数时，会用到两个整数(m和n)组成的分数m/n。对于任意无理数Z，n的不同值对应m的不同值，要求Z的最佳逼近，就要求Z与近似分数之差的绝对值|z-m/n|，也就是最接近0的n，换句话说就是逼近误差最小的n。
上图比较了π(红色)和φ(蓝色)的近似误差图。横轴表示n从1到200的值，纵坐标是无理数和近似值之差“误差=|z-m/n|”。可以看出，对于π，当n=7，n=113时，可以给出π的一个非常好的近似。也称为π ≈ 22/7和355/113。
与π相比，黄金分割比φ的大概情况显然没有那么明确。它的近似误差曲线比其他无理数收敛得慢。而这背后的原因是φ有一个特殊的性质——它可以表示为“连分数”，所以φ可以写成这样的形式:
它是恒等式φ-1=1/φ的直接推论。
φ的连分数形式有一个关键特点，就是每一项都有一个1，这些分母中包含的1会导致误差较大，从而使整个分数收敛较慢。
相比之下，π的连分式看起来像这样:
你可以看到它分母里的数字都很大，比如7，15，292等等。这些大数字会让偶数分数的误差小很多。
然而，这种用分数近似φ的困难也使它成为数学家和计算机科学家在研究同步过程时非常有用的数字。可以说，虽然黄金比例与大众的想象有所不同，但当你知道了它的真实面貌，你可能会更加惊叹数学的真正魅力！
本文节选自数学家克里斯·巴德2020年2月11日在格雷欣学院的讲座《伟大的数学神话》。在巴德的讲座中，他还提到了著名的三门问题和四色定理等。全文链接可以在https://www.gresham.ac.uk/.找到
图片来源:mayeesherr。/Flickr
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